极值-最值

极值

$$f(x)在U(x_0)有定义,\forall x\in\mathring{U}$$

$$若f(x)<f(x_0)\Rightarrow f(x_0)是极大值,x=x_0是极大点$$

$$若f(x)>f(x_0)\Rightarrow f(x_0)是极小值,x=x_0是极小点$$

定理一

$$f(x)在x_0处可导,若f(x)在x_0处取得极值\Rightarrow f'(x_0)=0$$

$$f'(x_0)=0\nRightarrow f(x)在x_0处取得极值$$

证明方法：费马引理，请读者自行验证

定理二

$$设f(x)在x_0处连续，且\mathring{U}(x_0,\delta)可导$$

$$\left. \begin{matrix} x \in (x_0-\delta,x_0),f'(x)>0 \\ x \in (x_0,x_0+\delta),f'(x)<0 \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow f(x)在x=x_0处取得极大值$$

$$\left. \begin{matrix} x \in (x_0-\delta,x_0),f'(x)<0 \\ x \in (x_0,x_0+\delta),f'(x)>0 \\ \end{matrix} \right\}\Rightarrow f(x)在x=x_0处取得极小值$$

$$若左邻域,右邻域,一阶导数符号不变,f(x)在x=x_0处不取极值$$

定理三

$$设f(x)在x=x_0处f'(x)=0,f''(x_0)存在f''(x_0)\ne0$$

$$f''(x_0)<0\Leftrightarrow f(x)在x_0处取得极大值$$

$$f''(x_0)>0\Leftrightarrow f(x)在x_0处取得极小值$$

最值

$$f(x)在U上有定义,\exists x_0\in U,使得\forall x\in U都有：$$

$$f(x)\leq f(x_0)\Rightarrow f(x_0)为f(x)在U上的最大值$$

$$f(x)\geq f(x_0)\Rightarrow f(x_0)为f(x)在U上的最大值$$

最值不一定是极值，极值不一定是最值

不等式链

$$\frac{2}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}\leq\sqrt{xy}\leq\frac{x+y}{2}\leq\sqrt{\frac{x^2+y^2}{2}}$$

例题

例1

$$m,n>0且m+n-2\sqrt{3}=0,则max(mn)为?$$

$$解法一:[基本不等式]$$

$$m+n=2\sqrt{3}$$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{mn}&\leq\frac{m+n}{2}\\ mn&\leq(\frac{m+n}{2})^2\\ mn&\leq(\frac{2\sqrt{3}}{2})^2\\ mn&\leq3\\ 当且仅当m=n时取等\\ max(mn)=3 \end{aligned} \end{equation}$$

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$$解法二:[拉格朗日数乘]$$

$$使用前提:\\ 函数最值存在，若函数本身不存在最值，则此法的解皆不是最值\\ 约束条件没有边界\\ 约束函数需具有一阶连续偏导数，且约束函数的梯度向量不为0$$

$$f=mn\\ \\ g=m+n-2\sqrt{3}=0\\ \\ h=f-\lambda g\\ \\ \frac{\partial h}{\partial m}=0\\$$

$$\frac{\partial h}{\partial n}=0\\ \\ \left\{ \begin{aligned} g&=&0& \\ \frac{\partial h}{\partial m}&=&0& \\ \frac{\partial h}{\partial n}&=&0& \\ \end{aligned} \right. \\ \left\{ \begin{aligned} \lambda&=&\sqrt{3}& \\ m&=&\sqrt{3}& \\ n&=&\sqrt{3}& \\ \end{aligned} \right. \\ 代入f即可求出极值，后可求最值\\$$